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Olivier Darrigol
(CNRS-REHSEIS)
" La mesure au tournant critique : quelques réflexions
de Hermann Helmholtz "
Résumé de la séance du 27 novembre 2001
Lors cette séance consacrée à Helmholtz, le séminaire d'histoire
et philosophie de la mesure est passé par l'un de ses centres d'attraction historique et épistémologique
: l'article de Helmholtz intitulé " Zählen und Messen " (" Compter et mesurer "),
qui date de 1887, est en effet une source majeure de la réflexion philosophique du XXe siècle sur
la mesure. Olivier Darrigol a présenté en détail le contexte de la rédaction de cet
article et a mis en lumière la diversité des inspirations de Helmholtz, allant des travaux des mathématiciens
à ceux des psychologues de l'époque, en passant par les propres travaux de Helmholtz sur les fondements
de la géométrie. Car il n'est pas seulement question des conditions épistémologiques,
voire métaphysiques, des mesures dans l'article de Helmholtz, mais aussi des fondements de l'arithmétique,
compter et mesurer étant les opérations fondamentales de quantification des phénomènes.
Olivier Darrigol a introduit son exploration des sources de la réflexion de Helmholtz
en faisant remarquer que l'on a beaucoup mesuré au XIXe siècle, et de mieux en mieux, ce qui a occasionné
un retour réflexif sur les conditions de fiabilité et de précision des mesures, illustré
par les écrits de Gauss, Weber, Bessel, etc. Ces travaux avaient pour but, et ont eu comme conséquence,
d'améliorer les mesures effectuées au quotidien en physique. S'ils se posent les questions : "
comment mesurer ? ", et " comment mieux mesurer ? ", ils ne se demandent pas pourquoi mesurer, pourquoi
attacher des nombres à des grandeurs physiques. C'est à cette question que tente de répondre
Helmholtz.
L'article de Helmholtz commence par analyser l'opération de comptage, qui est ramenée,
selon une optique kantienne, à la faculté d'ordonner nos impressions dans le temps. Selon Helmholtz,
notre première notion de nombre est celle de nombre ordinal, rapportée à l'ordonnancement
naturel de nos actes de conscience dans le temps. Helmholtz donne plusieurs définitions permettant de retrouver
les propriétés bien connues des entiers à partir de cette caractérisation. L'introduction
de la notion de comptage d'ensembles d'objets permet d'aborder celle de nombre cardinal, et l'introduction du comptage
d'objets semblables permet de définir les " nombres concrets ", c'est-à-dire suivis d'une
unité. Dans ces définitions, la récurrence joue un rôle fondamental.
Pour ce qui concerne la mesure, la notion de grandeur est définie en faisant appel à une méthode
de comparaison symétrique et transitive, et celle de grandeur mesurable est introduite en la rapportant
à une addition concrète commutative et associative, et à un principe de divisibilité.
L'opération de mesure est définie comme l'établissement d'une correspondance entre une grandeur
mesurable et un nombre concret, et la mesure indirecte par une relation avec des grandeurs mesurables, comme dans
le cas des coefficients qui interviennent dans les lois physiques. Helmholtz insiste beaucoup sur le fait que seule
l'expérience peut dire si l'égalité et l'addition concrètes ont les propriétés
qui sont attendues des relations arithmétiques correspondantes. Ainsi la mesure a-t-elle selon lui un double
aspect, conventionnel et objectif : tant la méthode de comparaison entre grandeurs que l'opération
d'addition concrète font l'objet d'un choix, mais le choix d'une convention est contraint par le fait que
la méthode de comparaison entre grandeurs doit être transitive et symétrique.
Après avoir ainsi résumé l'article de Helmholtz, Olivier Darrigol a fait remarqué qu'il
s'agissait d'un texte étrange, surtout pour les lecteurs de l'époque. Le discours de Helmholtz est
très abstrait et son style d'exposé inédit. Olivier Darrigol a cependant montré que
ce texte entretenait, malgré les apparences, des relations étroites avec des considérations
qui existaient avant lui, et en proposait une synthèse. Les sources de Helmholtz peuvent être regroupées
en quatre rubriques : fondements des mathématiques, avec les frères Grassmann et Paul du Bois-Reymond,
psychologie, avec Fechner, Zeller et Johannes von Kries, physique, avec Maxwell et Mach, et enfin fondements de
la géométrie, avec les articles de Helmholtz lui-même.
Dans les écrits de Justus (le père) et de Hermann Grassmann est développée une analogie
entre arithmétique et géométrie dans laquelle l'arithmétique joue le rôle de
paradigme pour toutes les mathématiques. Dans leur théorie générale des grandeurs,
cadre général dans lequel doivent s'inscrire l'ensemble des mathématiques et la logique, Hermann
et Robert Grassmann veulent éliminer l'appel à l'expérience et à l'intuition dans les
fondements des mathématiques. Paul du Bois-Reymond, en revanche, développe une conception phénoménologique
et anti-formaliste de l'arithmétique à laquelle Helmholtz emprunte beaucoup, ce qui est à
l'origine du dédain manifesté par les mathématiciens pour son article.
C'est en psychologie, et non en physique, que la question de la mesurabilité est posée pour la première
fois, à l'occasion du débat sur la loi de Fechner. Zeller (à qui l'article de Helmholtz est
dédié) affirme qu'il n'existe pas d'étalon fixe en psychologie ; Wundt lui répond que
l'on peut cependant effectuer des mesures dans ce domaine. Dans les écrits de Kries et d'Elsas, on trouve
les premières discussions poussées de la mesure en physique, discussions transposées de la
problématique psychologique. En particulier, Kries montre que la mesure des grandeurs intensives (notion
qu'il reprend de Kant), est nécessairement indirecte et passe par des conventions plus ou moins arbitraires,
à choisir suivant la simplicité des lois qu'elles permettent d'établir. Comme l'a indiqué
Olivier Darrigol, on peut se demander pourquoi Helmholtz ne parle pas explicitement du contexte de la discussion
sur la mesurabilité en psychologie. On peut avancer l'hypothèse selon laquelle comme à son
habitude, Helmholtz préfère ne pas prendre parti dans une polémique trop vive alors qu'il
n'a pas le moyen de trancher le débat par des arguments empiriques sûrs.
Dans les écrits de Maxwell et de Mach sur la température, on trouve d'autres éléments
dont s'est inspiré Helmholtz, comme par exemple le fait que la transitivité de l'équilibre
thermique qui sert à définir le concept de température n'est pas donnée a priori, mais
doit être testée empiriquement, ou encore le fait que la mesure des températures suppose une
addition concrète qui n'est donnée que par la voie thermodynamique.
Dans ses réflexions sur les fondements de la géométrie, qu'il cite comme la principale motivation
de son article, Helmholtz présente d'abord le " fait de base " : l'existence de corps rigides
librement mobiles, qui autorisent la congruence. Ce fondement de la géométrie est empirique au sens
où il détermine les conditions de l'expérience géométrique, où il permet
de donner une base physiologique à l'intuition kantienne, et enfin où c'est l'expérience qui
permet de trancher entre les différents systèmes d'axiomes (cependant, c'est l'ensemble " géométrie
+ physique " que l'on teste lors d'un test de rigidité, et non tel système d'axiomes). La différence
entre arithmétique et géométrie réside dans le fait qu'il n'y a qu'un seul système
d'axiomes arithmétiques, dont le rôle est de permettre de sélectionner dans l'expérience
ce qui peut être représenté de façon pertinente par des nombres. Alors que pour du Bois-Reymond,
la notion de grandeur précède celle de nombre, Helmholtz définit la grandeur de sorte qu'elle
satisfasse à peu près aux axiomes de l'arithmétique.
Pour finir, Olivier Darrigol s'est demandé quel public visait Helmholtz, et quel public il avait trouvé.
Les mathématiciens refondateurs (Dedekind, Cantor, Frege, Russell) ont fait preuve d'une hostilité
uniforme, et les physiciens d'une indifférence générale, sauf Mach, Duhem, puis Campbell.
Seuls les mathématiciens s'intéressant à la physique et à la géométrie,
comme Poincaré et Hölder qui admirent l'article de Helmholtz, de même que, beaucoup plus tard,
les philosophes comme Patrick Suppes qui travaillent à la théorie de la mesure. Y a-t-il des raisons
profondes à l'indifférence des physiciens ? Ceux-ci ont en général certains présupposés
sur la mesurabilité des grandeurs nouvelles, et considèrent qu'il est inutile de prendre la peine
de vérifier la transitivité, par exemple, de la méthode de comparaison entre grandeurs.
Les imprécisions ou les erreurs qui pourraient figurer dans ce résumé ne sont pas imputables
au conférencier mais à l'auteur du compte rendu (A. Barberousse).
On trouvera de nombreux développements concernant la mesure des phénomènes électromagnétiques
dans :
Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, New York : Oxford University Press, 2000.
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